人类社会是什么样的数学系统

人们讲历史，通常从一件件具体的事讲起：哪一年大旱，哪一位皇帝昏庸，哪一支军队倒戈。这些原因都是真实的。但我认为，它们大多只决定一件事在什么时候、以什么方式发生。饥荒、战争和改朝换代在不同文明中一再出现，是因为这些具体原因背后还有少数几条数学关系在起作用。这是一个要检验的判断。如果它成立，找出这些关系，就能说明人类社会是一个什么样的系统，又是怎样变化的。

其中最有名的一条来自马尔萨斯。他在 1798 年指出，人口按比例增长，每一代都比上一代多出一定百分比；粮食却只能按固定数量逐年增加。人吃的粮食只能来自土地的收成，因此人口迟早会超过土地能养活的人数。到了那时，饥荒、疾病和战争会把人口压回去。本社创办人的研究提出，工业社会也有一条形式相同的关系：财产持有人要求的回报按比例增长，这笔回报只能从每年实际生产出来的收入中支付，而收入增长得较慢。两者之间的差距会逐年累积，直到收入无法支付这笔回报，只能通过清算消除差距。所谓清算，是指财产持有人积累的权益被削减：有时是在几十年里每年少拿一些，有时是在一场战争或革命中被大幅勾销。

这两条关系的形式相同。两个按不同速度增长的量，被同一笔账联系在一起：人吃的粮食只能来自收成，财产的回报只能来自收入。这种按定义成立的等式，经济学叫作会计恒等式。差距累积到上限，系统就要调整。差距需要多少年才会累积到上限，可以由两者的增速算出；到了上限以后，怎样调整、代价由谁承担，取决于当时的人和制度。

但这一条关系还不能解释历史上人口为什么会反复起落。把马尔萨斯的论证写成方程，人口会增长到土地能养活的人数附近，然后停在那里。美国学者 Turchin 查看西欧、中国、越南北部等地的长期人口记录，发现人口没有停在某一个数目上，而是围绕一条缓慢上升的趋势线，每两三百年起落一次。他据此判断，农业社会在数学上是一个二阶动力系统。动力系统指一组随时间变化、彼此影响的量。在一阶系统中，人口过多会立刻压低人口，因此人口会停在平衡点上。在二阶系统中，人口过多的后果先作用在别的量上。Turchin 2009 年那篇文章的模型用的是国家的财力和内战的烈度；上层的人数来自 Goldstone 的研究，不在那个模型里。这些量随人口增长，却比人口晚一步变化；等它们开始压低人口时，人口可能已经越过平衡点，于是又跌回来，形成起落。在他最简单的模型里，起落要反复出现，还需要随机的扰动；加入内战这个量以后，模型在一些参数下不加扰动也会反复起落。

我想弄清三个问题：在人类社会中起作用的数学关系有哪些？这些关系使人类社会成为一个什么样的系统？这个系统会怎样变化？例如，工业革命以后，粮食长期比人口增长得快，原来的起落是消失了，还是转移到了财富和债务上？AI 出现以后，又会怎样？

我们用两种办法检验答案。一种是拿许多社会的历史记录来核对。另一种是建立一个名叫 Ekumene 的模拟世界，用它找出哪些量是真正的长期变量。所谓长期变量，是指改变它以后，几百年后的结果也会改变的量，例如人口会停在哪个水平、每人能吃到多少、社会会不会一次次起落。只会改变事情发生在哪一年、经过哪条路径的量，不算长期变量。具体做法是把这些关系写成规则，让模拟世界从同一个起点反复运行；每次只关掉或改动一个量，其余不变，观察长期结果会不会改变。到 2026 年 11 月，这种检验只在农业社会这一段做过，而且只做了几项；工业社会和 AI 这两段，模拟还没有开始。

一、农业社会：人口、土地，以及第二个量

先看历史记录。马尔萨斯那条关系留下的痕迹很清楚。按经济史学者麦迪森的估计，公元 1000 年到 1820 年，世界人均收入只增加了一半左右。这八百年里，农具、作物和灌溉都有改进，但改进带来的粮食大多养活了更多人口，没有让每个人的生活变得更好。

Turchin 所说的第二个量也留下了痕迹。如果社会的起落来自一个比人口晚一步变化的量，那么人口刚开始下降时，这个量还处在最高点，社会承受的压力也最大，动乱就应当集中在人口下降阶段，而不是人口增长阶段。Turchin 和俄国学者 Nefedov 统计了英格兰、法国、罗马、俄国的七个周期：人口增长阶段平均每十年发生 0.6 次动乱；人口下降阶段平均每十年发生 3.8 次。Turchin 另外统计了八个统一的中国王朝，两个阶段分别为 3.4 次和 11.3 次。每一个周期中，人口下降阶段的动乱都更多。

记录能告诉我们事情是怎样发生的，却不能告诉我们：如果少了某一样东西，事情会不会不同。为此，我们需要一个模拟世界。

Ekumene 是我们用程序搭建的模拟世界。我们从真实地理中截取两河流域、华北和西欧三块地区，将每块地区划分为许多六边形小块；每一小块土地能产出的粮食不同。模拟按年推进。每过一年，程序依次让每块地上的农民耕种、收粮，再给每人分配一份粮食；吃饱的人照常生育，吃不饱的人少生孩子，长期吃不饱的人会饿死。有国家的地方，国家先征收一部分粮食养活统治者；统治者也会生育。程序把这些步骤重复一千五百次，便得到这块地区一千五百年的历史。

我们需要这样的世界，是因为真实历史只发生过一次。我们无法让真实的两河流域在没有国王的条件下再过一千年，再看会发生什么。模拟世界可以这样做：让同一个世界从同一起点运行两次，第二次只改一条规则，其余条件完全相同。如果两次运行几百年后的结果不同，例如一次反复崩溃，一次保持平稳，差别就只能来自改动的那条规则。改动后会改变长期结果的量，就是我们要找的长期变量。

程序每次运行都要用到一长串随机数，用来决定哪一年收成好、哪一户多生一个孩子。这串随机数由一个叫「随机种子」的数字决定；换一个种子，就相当于换了一种运气。只用一个种子得到的结果，可能只是那一次碰巧如此。因此，一个结论要用几十个种子重跑，观察它是否每次都成立。下面说到的几项结果，大多只用了一个种子，这是它们目前最大的不足。

我们先让一个没有国家、也没有战争的世界运行，里面只有种地的百姓。人口起初增长，随后停在某个数目附近，不再增加。原因是报酬递减。同一块地，人手少时，多一个人能多种出不少粮食；人越多，多一个人能增加的粮食越少，到后来几乎种不出多少。人口停住时，每人平均只能吃到模型规定所需口粮的 92.5% 左右。平均数不够，意味着总有一部分人家吃得更少：模型里每年约有千分之四十的人饿死，正好抵消新出生的人，人口于是既不增加，也不减少。

如果这片土地的产量提高了，例如换种收成更好的作物，会怎样？按概括这个模型的公式推算，多出的粮食先让人吃得更好，于是多生孩子、少饿死人，人口增加；人口会一直增加，直到每人又只能吃到所需口粮的 92.5% 左右，增长才停止。最后，人更多了，每个人的生活并没有比以前更好。这就是马尔萨斯的结论。这一点我们用公式推算过，还没有在模型中提高产量后重跑一遍。

接下来加上国家。国家每年从收成中拿走一部分，百姓能吃到的粮食就少了。结果与上面产量提高的情形正好相反：孩子生得少了，饿死的人多了，人口减少；人口减少到每块地上的人不再拥挤，每个人又能吃到原来的水平，人口才会停止减少。所以按概括这个模型的公式推算，国家拿走的份额越大，这片土地养活的人就越少；活下来的百姓，每人吃到的粮食却和没有国家时差不多。税重决定的是能活多少人，不是活着的人过得怎样。

这个推算还给出了一条界线。人少地多时，国家境内平均每人分到的收成，大约是所需口粮的 1.4 到 1.6 倍。上面说过，人口要保持不增不减，每人需要吃到所需口粮的 0.925 左右；收成中超过这个数的部分，就是国家最多能拿走、而人口仍能维持下去的份额。如果国家拿走得超过这一份，即使人口已经少到每个人都有大片土地，交完税后剩下的粮食也不足以维持人口，人口就会一直减少，直到消失。按模型中的数值计算，这条线在收成的 34% 到 42% 之间。这两点同样由公式推算得出，我们没有在模型中逐个调整税率重跑。模型一个较早的版本可以作为旁证：两河每次人口崩溃时，国家拿走的份额都已经升到收成的 48% 到 53%，超过了这条线。

到这里，模型中的人口还只会停在一个水平上，不会一次次起落。要看 Turchin 所说的第二个量是否起作用，需要做一次开和关的对照。2026 年 10 月 25 日，我们在模型的 v17 版本上做了这次对照。v17 里的统治者和百姓一样结婚生子，他们的人数会自行增减；国家征收多少粮食，取决于统治者需要多少。对照只改了一处：让百姓人数决定统治者最多能有多少，超过这个数的统治者降为百姓，其余规则完全不变。两种情形下，两河、华北、西欧三个地区各运行一千五百年，再统计人口崩溃发生了几次。这里的崩溃，是指人口的五十年平均数比此前下降三成以上。

结果是，统治者人数自行增减时，两河崩溃了三次，华北一次，西欧两次；由百姓人数决定时，三个地区一次也没有。其余规则都相同，所以差别只能来自统治者人数是否自行增减。在这个模型中，统治者人数是一个长期变量：有了它，人口会一次次起落；没有它，人口停在一个水平上。这次对照只用了一个随机种子，因此只能说明这一种运气下的情形，还需要换几十个种子重跑。

下面是这次对照中，两河在统治者人数自行增减时那一次运行的逐格回放。

回放可以这样看。地图上每个六边形是一块地。彩色的地属于某个国家，每个国家用一种颜色表示；灰色的地没有国家统治，颜色越深，住的人越多。右边的几条曲线分别显示当年的总人口、统治者人数，以及国家拿走了收成的几成。把下方的时间条拖到第 200 年附近，再点「播放」，就能看到下面这段经过。

第 100 年到第 200 年，两河几乎每一块地都属于某个国家，总人口在一千三百万到一千六百万之间。统治者约有七万到十九万人，只占总人口的百分之一左右，国家拿走的粮食不到收成的一成。

此后，统治者不断生育。二十五年里，他们从约 19 万人增加到约 45 万人。他们吃的粮食全靠税收，人数增加后，国家拿走的份额也随之升高：从收成的 6% 升到 15%，到第 250 年升到 23%。

最关键的是第 300 年前后。从第 300 年到第 324 年，百姓从约 291 万人减到约 232 万人，统治者却从约 11 万人增加到约 27 万人。这是因为税粮减少以后，模型中的统治者先削减其他开销，自己的口粮不减，仍然吃饱，也仍然生孩子。百姓已经在饿死，统治者人数还在增加。直到第 328 年，统治者才开始挨饿；此后几年，他们占到了总人口的四分之一以上。按五十年平均数计算，这一次人口下降了 98%。

模型里本来有一条保护百姓的规则：每块地交完税后，平均每人至少还要剩下所需口粮的 0.62。按模型规则，一个人长期吃这么多，刚好不会饿死，但几乎不再生孩子，生育只剩正常时的三成左右。这条规则没有保护住百姓，因为它按整块地的平均数计算。同一块地中，各户收成有好有坏，平均剩下 0.62，就意味着约有一半人家剩下的不到 0.62。我们单独做了一次试算：一块地平均正好剩下 0.62 时，每年会饿死 16.7% 的成年人。崩溃期间，模型中每年饿死的成年人在 10% 到 16% 之间，与试算相符。同一时期，战死的人每年不到千分之一，这次崩溃几乎全由饥饿造成。

这一次运行、一项对照和两条推算放在一起，说明模型重现了教科书中的两个结论：生活水平由生育和报酬递减决定；人口要一次次起落，需要一个比人口晚一步变化的第二个量。但模型得出这两个结论的方式有三处与历史不符，因此还不能作为历史上哪些量是长期变量的证据。

第一处是死法。在只有百姓的那次运行中，当时的模型还没有加入疾病，每年饿死约千分之四十，压住人口的几乎全是饥饿。历史上压住人口的主要是疾病，以及晚婚、少生这类对生育的限制。后来的版本加入了日常疾病；在 r28、r29 两河几次崩溃从高峰到低谷的那一段，饿死和病死的人数大致相当。平常年份里各种死因各占多少，还没有和历史记录核对过。

第二处是百姓的出路。历史上，税太重时，百姓会逃亡，也会反抗，国家往往先垮掉，人口不会一直减少到零。模型里的百姓也能迁移、能反叛，但每次模拟只包含一个地区，人走不出这个地区，反叛也几乎不能减轻税负，最后仍然饿死。

第三处是崩溃的深度和结束的方式。11 月 2 日，我们用模型后来的两个版本 r28、r29 做了一次精英过剩的对照。这两个版本已经有了疾病。对照只用了两河一个地区的六次运行，其中出现七次崩溃；这里的崩溃按「百姓在一百年内减少到一半以下」判定，和上面五十年平均数的口径不同，而且是看过结果以后才定下的。

和英格兰的记录相比，模型有三处相似。崩溃以前，统治者占人口的 0.8% 到 3.6%，英格兰 1300 年前后约为 0.7% 到 1.6%。七次崩溃中，统治者人数的高峰都比百姓人数的高峰晚 36 到 105 年，变化方向与 Turchin 所说的滞后一致。七次中有六次，人口下降阶段的反叛多于增长阶段。

两者也有两处不同。模型中百姓每次减少 88% 到 98%，英格兰在 1317 年到 1377 年间约减少 29% 到 60%，这还包括黑死病造成的死亡。模型中的人几乎都死于饥饿和日常疾病，国家一次也没有被推翻；历史上这一阶段的主要特征却是精英争夺职位和内战。v17 里两河的国家中心倒是被推翻过一千多次，但那一版崩溃时统治者占到了人口的四分之一以上，同样不像历史。

所以下一步不是增加几项对照，而是先让模型中人口死亡、少生和逃避重税的方式大体符合历史。我们会先把三个数与历史记录核对：死因的构成，国家拿走的份额，上层占人口的比例。之后，每加入一条规则，例如饥荒带来的疾病、婚姻、采集者的迁移，都用几十个随机种子分别比较有无这条规则时的结果，记下它会不会改变长期结果。

还有一件事没有做。二阶系统最明确的数量预言是，起落的周期由两边变化的快慢决定：人口增长得越快，第二个量反应得越快，起落就越频繁。Turchin 用人类每年 2% 到 3% 左右的增长率，推出两三百年一次起落。模型里的起落多少年一次，与模型里的增长速度是否相符，我们还没有计算。

二、农业刚出现的时候

农业出现以前，人靠采集和狩猎生活，一个地方能养活多少人，取决于那里的野果、野兽和鱼。农业出现以后，人口的上限改由耕地和作物决定；随着作物被一代代驯化、收成慢慢提高，这个上限也在慢慢升高。这个上限不再固定，那么人口和上限之间是否仍是同一种系统，是否也会出现自己的起落，我们还没有检验。

Ekumene 现在能从公元前 8750 年前后开始，让农业在几个起源地出现，再向四周扩散。10 月 27 日的两个版本中，全图上的农业前沿每年推进 0.73 到 0.93 公里。考古学者根据各地最早农业遗址的年代估计，欧洲新石器时代农业扩散的速度是每年 0.6 到 1.3 公里（Pinhasi 等，2005）。两者相符，但这还不能算一次检验，因为模型中有一条规则，让采集者按代际慢慢转为农民；这条规则是在看到模型里的农业扩散得太快以后才定下的。一个模型如果是照着答案调出来的，与答案相符就说明不了什么。

三、工业社会：回报和收入

工业革命以后，粮食在很长一段时间里比人口增长得快。按麦迪森的估计，1820 年到 2010 年，世界人口从约 10 亿增加到约 69 亿，人均收入却增加到原来的约 10 倍。马尔萨斯那条关系在发达国家不再是主要约束。

本社创办人的研究认为，起落并没有因此消失，而是转到了另一对量上。按比例增长的量换成了财产持有人要求的回报：存款和国债的利息、房租、股息。持有人每年都期待这些收入增长，收到以后又把一部分再投出去。支撑这些回报的，是每年实际生产出来的收入。举一个例子：一个国家一年收入 100，财产 500，财产每年的收益率是 5%，经济每年增长 2%。如果收益全部留下来再投资，财产相当于几年收入的倍数每年上升约 3%，财产收入在国民收入中的比重也随之上升，约 24 年从 25% 升到 50%。这当然不可能一直持续下去，因为劳动者付完房租和利息以后，必须留下足够生活和养育下一代的钱。我们把这个限度叫作分配上限。

到了分配上限，持有人期待的收入已经无法再从劳动者那里取得，只能少拿，或者失去一部分财产，这就是开头说的清算。清算有两种。一种是逐年少拿，例如让物价温和上涨，同时压低利率，我们称为温和清算；另一种是在短期内发生大规模损失，例如战争、革命、恶性通货膨胀，我们称为暴力清算。

本社创办人把这些规则写成一个逐年运行的程序：财产相当于几年收入的倍数不断上升，到达分配上限时发生一次清算，然后重新上升，如此反复，周期约为七十到七十五年。周期的长短只取决于两件事：财产每年比收入多增长多少，以及上一次清算使财产减少了多少。比如财产每年比收入多增长 1 个百分点，上一次清算使财产减少一半，下一个周期就约为 70 年；如果上一次减少了四分之三，就约为 140 年。按这项研究，两百年的记录里有两个这样的周期。第一个从 1815 年到 1945 年，以两次世界大战结束；第二个从 1945 年到今天，战后三十年各国用温和的办法让持有人逐年少拿，1970 年代以后转向。英国政府债务相当于国内生产总值的比例，在这两百年里两次升到高峰，又两次降下来。

在我看来，这项研究的回答和 Turchin 的回答有一处不同。这项研究里的起落来自一道上限和一次清算：倍数一直累积，到达上限后被压低，再重新累积。Turchin 的起落来自一个比人口晚一步变化的第二个量：人口先涨，第二个量随后上涨，等它涨到压低人口的时候，人口已经越过了平衡点。这两种结构都能产生起落，但决定周期长短的因素不同：前一种由增长速度之差和清算的深度决定，后一种由两边反应的快慢决定。工业社会属于哪一种，或者两种是否同时存在，是这一段要回答的问题。

Ekumene 还没有做到这一段。这个程序是另外写成的，参数由作者设定，没有用任何国家的数据拟合。它能说明这几条规则可以构成一个前后一致的过程，但还不能说明历史上的清算确实由这几条规则产生。更有说服力的检验，是先规定什么算一次清算，再拿许多国家的记录去统计；据本社创办人说，这样的检验还没有做过。

四、AI 以后

本社创办人提出了一个量，叫「人类当量」，仿照核武器的「TNT 当量」：大语言模型能够大量生产相当于多少人的智能。按他的算例，同样一份文字工作交给机器，成本约为人工的五十分之一，我的理解是，机器的供给可以随算力增加。在农业社会，受限制的是土地；在工业社会，按他的看法，受限制的是收入怎样分配。如果劳动不再是受限制的量，下一次起落会发生在哪两个量之间？哪一个按比例增长，哪一个支撑它，上限在哪里？这些都还是开放的问题，我们还没有开始研究。

五、到了哪一步