两百多年前，马尔萨斯提出了一条规律：人口每一代都按一定比例增长，土地的收成却只能缓慢增加，因此人口迟早会超过土地能够养活的人数。到那时，饥荒、瘟疫和战争会使人口减少。在工业革命以前，这条规律大体成立。按经济史学者麦迪森的估计，从公元 1000 年到 1820 年，世界人均收入在八百多年里增加了不到一半；技术进步带来的额外粮食，大多用来养活更多人口，没有让每个人过得更好。
工业革命以后，情况改变了。1820 年到 2010 年，世界人口从约 10 亿增加到约 69 亿，人均收入却增加到原来的约 10 倍。人口增加到将近七倍，每个人反而过得更好。在富裕国家，马尔萨斯的规律已经不再成立。许多人因此认为，人类社会从此摆脱了这一类数学规律；只要技术不断进步，经济增长就会让大多数人的生活越来越好。
工业革命以来，资本和财富的创造也实现了指数增长，但是前者的增长速度却两百年来大多数时候都大于后者。这种失衡背后的根本原因是，资本的所有者总是希望获得高于平均财富增长速度的回报，工业革命允许他们通过追求技术进步的方式实现，而资本主义则允许他们通过以债务关系压榨无产阶级的方式实现。一旦两种增长速度之间的差距积累到一定阶段，矛盾亦会如马尔萨斯时代一般爆发，这本质上仍是一个数学问题。
一个国家每年的收入，分给资本和劳动两方。资本所得的份额，等于资本的回报率乘以资本相当于多少年的收入。如果收入每年增长，分配的比例又不变，资本的回报就应当和收入增长得一样快，也就是资本的回报率 r 应当等于经济增长率 g。可是皮凯蒂指出，两百多年来 r 长期大于 g；乔尔达等人整理的 16 个发达国家 1870 年以后的数据，结果也是这样。
各时期年平均，单位为百分比。回报为税前、含资产价格变化，包括住房、股票、债券和存款；各国先取平均，再对 16 国等权平均；1871—1913 年只有 12 国有回报数据。
据 Jordà–Schularick–Taylor 宏观历史数据库 R6 计算；参见 Jordà 等，"The Rate of Return on Everything, 1870–2015"，Quarterly Journal of Economics，2019。
原因在企业的决策方式里。按会计结算的顺序，股东最后得到分配；实际经营时，股东的回报却排在最前面。举一个例子。假设一家电器公司今年卖货收入 1 亿元，先付原材料、物流和电费 4000 万元，再发工资 3000 万元，付银行利息 500 万元，交税 500 万元，剩下的 2000 万元才是股东的利润。第二年市场不好，客户的订单减少，收入降到 9000 万元。客户买多少不由公司决定，利息和税也不能不付，管理层能调整的只有工资和采购：冻结工资，裁掉一部分员工，压低供应商的价格。结果工资降到 2500 万元，采购降到 3500 万元，利润仍然是 2000 万元。收入减少的 1000 万元，全部由员工和供应商承担。
一家电器公司两年的收支，单位为万元。条形从左到右是会计结算的顺序，股东的利润排在最后；管理层作决定时，先定下右端这一段。
数字为假设。
上市公司也是这样。高管的薪酬与股价、每股收益和股东回报率挂钩，资本的回报是他们的考核目标，工资是他们要压低的成本。
这种安排并不是谁强加的，而是从远洋贸易中发展出来的。船长冒着死在海上的风险出航，回港以后要把货卖出足够高的价钱，才能得到与风险相称的回报；后来别人出钱买他船上的舱位，分担风险，按出资比例分成，这就是最早的股份制。冒更大的风险就应得超额的回报，这条原则一直延续到今天的风险投资。市场上有千千万万个这样的决策者，每一个都要求高于平均水平的回报，而经济增长率 g 就是这个平均水平。所有人都超过平均数，在算术上是做不到的；要求超出的那一部分，只能来自技术进步带来的新增收入，或者来自别人原有的收入。这与善恶无关：每个人都作出这样的选择时，所有人的要求加起来，就会超过整个社会能够分配的总量。
增加总收入，有两种做法：投资新技术，或者投资还没有饱和的海外市场。从别人的收入中多取得一部分，也有两种做法：占有土地、房屋这类数量有限的东西收租放贷，或者用房贷、国债这样的债务，预先取得别人将来的收入。前两种增加全国的收入，资本和劳动都可能多得；后两种不增加收入，资本增加的收入，等于劳动者减少的收入。资本越积越多，同样一笔钱找到的高回报机会就越少，资本会从前两种做法逐渐转向后两种。下面两节的数据与这一判断相符。
工厂、机器、设备这类用来生产的资本，我们称为可再生资本，以区别于土地这类数量不会增加的财产。下图是全世界可再生资本相当于几年的国民收入。1800 年约为 1.4 年，此后一百年稳步上升，1904 年到 1913 年在 2.8 年上下，是第一个周期的高点；第一次世界大战后跌到约 1.8 年，第二次世界大战前后跌到 1.5 年左右，最低在 1951 年；此后重新上升，2020 至 2021 年约为 3.1 年，2023 年约为 2.8 年。两个周期的高点相近。不过 1980 年以前的数值是推算的，1913 年的可能范围在 1.8 年到 3.5 年之间，所以两个高点相近只能作为提示，不能作为证据。
1980 年以前为估计：取法国、英国、美国、德国历史上可再生资本占国内资本的份额，各国在基准年之间按直线连接，取逐年中位数，再按 1980 年的全球直接数据校准，然后乘以全球国内资本相当于国民收入的倍数；浅色区域是估计可能的范围，不是统计意义上的置信区间。1980 年起为全球直接数据。灰色为 1914—1945 年。
据 Piketty 与 Zucman（2014）数据附录各国表与世界不平等数据库（WID）计算。
我们把 1815 年到 1913 年称为第一个周期，1914 年到 1945 年是这个周期的清算，1950 年至今是第二个周期。每个周期都可以分成两个阶段。第一阶段，第一个周期是 1815 年到 1870 年，第二个周期是 1950 年到 1980 年：上一次清算刚刚结束，资本少，可以投资的新技术多，回报主要来自新技术创造的新收入，这两段时间常被称为黄金时代。第二阶段，第一个周期是 1870 年到 1913 年，第二个周期是 1980 年至今：最容易得到的技术成果已经用完，一部分资本到海外寻找回报，留在国内的一部分转向土地、房地产和债权。到了某个时候，海外也找不到足够的回报，国内的财产却越积越多，资本相对于收入的倍数到达顶点，随后就是清算。
起点选在 1815 年，不是说工业革命从这一年开始。纺纱机和蒸汽机在 18 世纪已经陆续出现，但那时还是一项项单独的发明；到 1815 年前后，蒸汽机已经普遍用于工厂和矿山，十年后又用于铁路。1815 年又是拿破仑战争结束的一年，欧洲大部分国家上一次的清算刚刚完成，开始战后重建。
只看全世界的总数，看不出资本在每个阶段放在哪里。英国是第一个周期的霸权国，它的资料保存得最完整，可以分项考察：财富的总量，其中的土地，其中的可再生资本，以及政府债务和海外资产。
1815 年到 1913 年，英国的国民财富一直相当于六到八年多的国民收入，高点在 1867 至 1868 年和 1900 年代：前一个高点紧接在 1866 年伦敦的金融恐慌之后，后一个高点之后是第一次世界大战。1914 年以后，财富跌到只相当于三年左右的收入，两次大战之间起伏不定，1950 年以后才缓慢回升，2025 年约为四年半。战争毁掉了厂房、设备和城市，也让债券、股票这类财产失去了价值，资本在这三十年里被大量清算。
财富按市场价值计算，包括土地、住房、经营性资产和净海外资产。虚线为 1800—1979 年的历史估计，实线为 1980 年起的年度账户。
据世界不平等数据库（WID），变量 wnweali999。
工业革命以前，占有大量农地的领主，是最主要的收租者。英国农地的价值，1810 年相当于三年的国民收入，到 1913 年只剩约三分之一年。工业的兴起使人们从土地上的租税中解脱出来，虽然随后又有了工厂里的劳资矛盾，这仍是一大进步。但到 1990 年代以后，土地又在财富中占到很大一部分，这一次是城市的住宅用地：1996 年以后，英国住宅用地的价值相对收入迅速上升。
虚线上的点为历史基准年的农业土地数值，点与点之间用直线相连，不代表中间各年的走势；农业土地 1980 年起、住宅用地 1996 年起有逐年数据。
基准年数据据 Piketty 与 Zucman（2014）英国附表；逐年数据据世界不平等数据库，变量 wnwagri999、wnwlani999。
可再生资本反映资本在多大程度上在本国投资技术、设备和厂房，扩大生产。英国的可再生资本 1810 年约为 2.6 倍，1855 年约为 3.1 倍，之后起伏，1913 年升到 3.25 倍的高点；1920 年跌到 0.61 倍。第二个周期里，它在 1980 年以后起伏下降，2020 年以后降得最快，到 2024 年只有 1.16 倍。这对应石油危机以后制造业向海外转移，英国本土的工业逐渐空心化。与土地价值的变化对照：本国可以投资的生产性资本少了，资本就转向土地和房地产。对 1980 年以后的英国年轻人来说，这意味着收入高而稳定的工作越来越少，房租和房贷的负担越来越重。
可再生资本指住房和农业土地以外的国内非金融资产，即机器、设备、厂房等。虚线上的点为历史基准年，点与点之间用直线相连，不代表中间各年的走势；1980 年起为逐年数据。
据 Piketty 与 Zucman（2014）英国附表 UK.6f 与世界不平等数据库，变量 wnwodki999。
1815 年拿破仑战争结束时，英国政府的债务约相当于两年半的国民收入，战后几年又升到 1821 年的近三年，此后逐步下降，到 1913 年只剩约三分之一年。英国没有违约，债务是靠收入增长逐渐降下来的。海外资产走的是相反的方向：1870 年以后加速上升，到 1890 年代初已相当于国民收入的约 1.7 倍，此后到 1913 年大体保持在这个水平。这就是第二阶段的出海：1866 年国内的金融泡沫破灭以后，1870 年代起，英国的资本越来越多地转到海外。拥有海外市场的好处，在于国内的生产性资本仍能找到体面的回报，可以继续投资技术和厂房，雇用本国人生产出口的产品；代价落在殖民地的人身上。两次世界大战以后，两者的走向都反了过来：到 1960 年代，海外资产几乎全部失去；政府债务在 1946 年又升到相当于两年半的收入。战后的工党政府把一部分产业收归国有，并提高了所得税；1965 年又开征资本利得税。
上图是存量，相当于几年的国民收入；下图是每年的收入，占国民收入的百分比，两者不能相加。政府债务不计入国民净财富。
政府债务、净海外资产、资本收入、净海外资本收入、政府利息据世界不平等数据库；1855—1946 年农地地租据 Piketty 与 Zucman（2014）英国附表（原据 Feinstein 1972）。
如果资本的回报全部留下来再投出去，差距会积累得多快，可以算出来。设想一个国家一年的收入是 100，全国的财产值 500，相当于五年的收入；资本每年回报 5%，经济每年增长 2%。财产每年比收入多增长约 3%，财产收入在国民收入中的比重约 24 年从 25% 升到 50%，48 年升到 100%，那时劳动者的收入为零。下图可以改动两个增长率，看比重升得多快。
起点：财产相当于 5 年的国民收入。拖动两个滑块，看比重升到 50% 和 100% 需要多少年。
财产相对于收入的倍数每年乘以 (1 + r) ÷ (1 + g)，财产收入的比重等于 r 乘以这个倍数，逐年计算。
这当然不可能真的发生，回报总有一部分会被花掉、被征税，或者在战争和通货膨胀中损失。按乔尔达等人整理的数据推算，如果法国财富从 1870 年起的全部回报都再投资，不花掉、不纳税，也不在战争中损失，到 2020 年，法国财富应当相当于国民收入的 350 多倍；实际只有约 6.9 倍，和 1870 年差不多。
资本期待的回报被削减，我们把这种削减叫作清算。清算有两种方式。一种是在几十年里逐年削减回报：让物价温和上涨，同时压低利率；对高收入和大额遗产多征税；债权人和债务人协商减债。我们称为温和清算。另一种是在短时间里大量损失：战争、革命、恶性通货膨胀和银行成批倒闭，损失的不只是账面上的财产，还有工厂、城市和人的生命。我们称为暴力清算。
第一个周期以暴力清算结束。1914 年以前一百年积累的国债、外国债券、海外铁路股票、城市房产和存款，价值都依靠和平、金本位和资本自由流动这三个条件，两次世界大战使三者同时消失。英国、法国、德国的财富，1910 年代都相当于六到七年的国民收入，1920 年代到 1950 年代降到二到四年，1940 年代最低，约两年半；美国本土没有经历战火，下降得少。英国最富的 1% 人口所占的财富份额，从 1913 年的约 68% 降到 1950 年的约 45%；法国同期从约 55% 降到约 33%。这一次清算的代价，不只落在财产持有人身上，也落在几千万死者和他们的家庭身上。
十年平均；每条线最后一点为 2024 年，取自另一数据库，口径不同，与前面的点不相连。灰色为 1914—1945 年。
1810—2010 年据 Piketty 与 Zucman（2014）数据附录表 A2；2024 年据世界不平等数据库。
第二个周期的第一阶段，伴随着唯一一次大规模的温和清算。英国政府债务从 1946 年相当于国内生产总值的约 270%，降到 1980 年的约 43%，没有违约，每一期利息都按时付清；做法是给存贷款利率设上限，要求银行和养老基金持有国债，限制资金流出国境。16 个发达国家的短期国库券和国债，在 1946 至 1980 年间的实际回报平均每年比经济增长率低约 6.3 个百分点。这些年里技术进步快，总收入增长快，削减旧回报的痛苦因此较小。
1980 年前后，第二个周期进入第二阶段。美国放开利率、外汇和金融业的管制，企业把股东回报放在第一位；16 国国债的实际回报重新高于经济增长率，1981 至 2007 年间平均每年高约 1.9 个百分点。每次危机，央行都降息、买入资产，使本来会发生的损失没有发生；损失推迟了，债务又多积累几年。今天，全球可再生资本相对收入的倍数，已经回到 1913 年的高度。这不能证明第二次清算已经开始，但第二个周期的这一比值，已经与第一个周期结束时相近。
按比例增长的是人口；增长较慢的是土地的收成；两者之间的会计关系是：人吃的粮食只能来自收成。差距无法再扩大时，靠饥荒、瘟疫和战争调整，也可以靠晚婚少生。
按比例增长的是资本期待的回报；增长较慢的是每年实际生产出来的收入；两者之间的会计关系是：回报只能从别人的收入中支付。差距无法再扩大时，靠战争、革命和恶性通货膨胀调整，也可以靠几十年里逐年削减回报。
两者的共同点是相同的数学关系：两个量各按自己的速度增长，前者对后者的倍数每年上升，升到原来的 k 倍大约需要 100 × ln k ÷（两者增长率之差的百分点数）年。差 1 个百分点，翻一倍约需 70 年；差 3 个百分点，约需 23 至 24 年。不同的是限度在哪里：马尔萨斯时代的限度是粮食够不够吃；工业革命以后，粮食已经不是限制，限度是收入怎样分配、社会能够忍受到什么程度。所以前者的调整是人口减少，后者的调整首先是财产缩水；只有在无法逐年削减回报的时候，后者才会像前者一样，以大量死亡告终。
在农业社会方面，我们搭建了一个模拟的农业世界，让同一个起点反复运行，检验人口的起落从哪里来。到目前为止只做了一次对照：统治者的人数由百姓人数决定时，三个地区一千五百年里人口一次也没有崩溃；让统治者的人数自行增减，五十年平均人口下降三成以上的情况出现了 3 到 7 次。这次对照只用了一个随机种子，还要换几十个种子重跑。在工业社会方面，全球可再生资本两次升到相当于约 3 年收入的高点，第一次以清算告终，第二次的高点在 2020 年前后，是否以清算告终还不知道。两个周期为什么都升到这个高度，下一次调整是温和的还是暴力的，这一数学关系能不能在许多国家的记录中得到检验，是我们接下来要做的事。模拟农业世界做到了哪一步，见人类社会是什么样的数学系统。